第9章 通往大学的高速公路

  徐辰也没有多问，平静地拉过一张椅子，在陈嘉平的办公桌对面坐下，拧开笔帽，开始思考。

  第一题：【求所有的素数p和正整数n，使得 n2+ p - 1整除 n3+ p3。】

  典型的整除与不定方程结合。常规思路是利用同余性质，模p或者模n进行试探，又或者试图通过假设p的奇偶性来分类討论。

  但这两种方法犹如盲人摸象，不仅计算量庞大，而且极易陷入死胡同。

  徐辰的笔尖在草稿纸上悬停了半秒，大脑已经开始了高速运转。

  问题的核心，在於左边的二次式 n2 和右边的三次式 n3 阶数不匹配，且 n 与 p 纠缠不清。想要建立整除关係，必须想办法“降次”並“剥离变量”。

  徐辰思考著：直接做多项式除法吗？会產生分式，不够优雅。那就……主动构造一个中间项，把 n3 强行消掉！

  这个念头如同一道闪电，数学天赋带给他超强的解题直觉！

  他落笔了。

  陈嘉平在一旁屏息凝神，他看到徐辰没有像普通竞赛生那样去穷举 p = 2, 3, 5，而是直接在草稿纸上写下了一行让他瞳孔骤缩的算式：

  n(n2 + p - 1) = n3 + np - n

  陈嘉平眉头紧锁，构造这个有什么用？

  紧接著，徐辰写下了堪称“神之一手”的变形！

  (n3 + p3) - n(n2 + p - 1) = p3 - n(p - 1)

  看到这一步，陈嘉平的呼吸瞬间停滯了！